Numerische Integration mit Excel

by Paul Balzer on 11. August 2011

15 Comments

Im Schulunterricht steht oft eine Funktion f(x) zur Verfügung, welche symbolisch integriert werden kann (Stammfunktion bilden) und dann das bestimmte Integral in den Grenzen berechnet wird. Im Alltag des Ingenieurs ist das eher selten der Fall. Der wesentlich häufigere Fall ist, dass bestimmte Messwerte numerisch integriert werden müssen. Sei es in Excel oder auf einem Steuergerät (Mikrocontroller).

Als Beispiel soll die von einem Beschleunigungssensor gemessene Längsbeschleunigung eines Fahrzeugs dienen. Gesucht ist die Fahrzeuggeschwindigkeit.

Beschleunigungsverlauf

Der mathematische Zusammenhang zwischen Beschleunigung und Geschwindigkeit ist klar: Integration über der Zeit. Doch wie kann man das Problem mit Excel (oder jeder anderen Tabellenkalkulation) lösen, wenn gar keine Funktion a(t) zur Verfügung steht, welche man dann symbolisch integrieren kann?

Numerische Integration

Das Zauberwort heißt numerische Integration. Sie läuft auf jedem Taschenrechner, auf jedem Computer und auf jedem Mikrocontroller und kann eine sehr gute Lösung sein. Um unnötig Text zu vermeiden soll an dieser Stelle auf die grandiose Erklärung von Prof. Loviscach verwiesen werden:

Zurück zum Beispiel: Die aktuelle Beschleunigung a(t) steht nicht als kontinuierliche Funktion zur Verfügung, sondern wird diskret (d.h.: „nur alle paar Millisekunden“) ermittelt. Dies z.B. durch einen A/D Wandler, Datenübertragung durch einen CAN-Bus oder Verarbeitung durch Mikrocontroller. Eine weitere Möglichkeit ist auch, dass die Daten in einer Messwertedatei (z.B. Excel Datei) gespeichert sind und zur nachträglichen Offlineauswertung herangezogen werden.

Trapezverfahren

Ein Verfahren, welches einen guten Mittelweg zwischen einfacher Anwendung und Genauigkeit bietet, ist das Trapezverfahren. Auch hierzu soll auf Prof. Loviscach verwiesen werden, welcher das Verfahren ausgezeichnet erläutert:

Dabei wird sich zu Nutzen gemacht, dass die Integration auch „die Fläche unter der Kurve“ darstellt und somit die Fläche durch Trapeze angenähert werden kann. Die Formel zur numerischen Integration kann mit nachfolgender Abbildung einfach gefunden werden.

Trapezregel

v_{t2}=v_{t1}+\left(\cfrac{a(t_1)+a(t_2)}{2}\right)\cdot(t_2-t_1)

Berechnung in Excel

Die Berechnung in Excel läuft nun folgendermaßen ab:

Numerische-Integration-Excel

Die Geschwindigkeit zu Beginn (v0) muss bekannt sein (Anfangswertproblem).

Numerische-Integration-Excel2

Es kann gezeigt werden, dass die numerische Integration mittels Trapezmethode für Polynome 1. Grades (also Geraden) exakt rechnet. Die Messwerte in einer Tabellenkalkulation werden mit diesem Verfahren ebenfalls exakt integriert.

Die Integration der Beschleunigung ergibt für das verwendete Beispiel folgenden Geschwindigkeitsverlauf, wenn als Ausgangsgeschwindigkeit v0 = 5.5 km/h angenommen wird.

Beschleunigungs-Geschwindigkeitsverlauf

Download der Excel Datei

Pro Tipp

Wenn gar nicht der Verlauf des integrierten Wertes benötigt wird (grüne Kurve im Diagramm oben), sondern nur ‚der Flächeninhalt unter der Kurve‘, dann kann man auch einfach

=MITTELWERT(Beschleunigungen) * (Endzeit - Anfangszeit)

rechnen.

15 Comments

Leave a Reply

Deine E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht. Erforderliche Felder sind mit * markiert.