Unter CC BY-NC-ND 2.0 Lizenz von flickr.com von Carlo Nitz

Schlagloch – von der Straße zum Fahrer

by Paul Balzer on 12. April 2010

8 Comments

Wenn man diesen Frühling mal etwas unaufmerksam durch die Gegend fährt, kann es schnell vorkommen, dass ein riesengroßes Schlagloch einem den Tag verdirbt. Doch wie kommt eigentlich das Schlagloch zum Fahrer?

Richtig, es muss über den Reifen auf das Rad und vom Rad über Feder/Dämpfer an die Karosse. Diese überträgt dann die Vertikalbewegung auf den Sitz und damit auf den Fahrer. Wie kann man sich das nun vorstellen?

Zur Vereinfachung wird nicht das gesamte Fahrzeug mit allen 4 Rädern betrachtet, sondern nur ein so genanntes 1/4-Fahrzeug. Damit ergibt sich dann das klassische Beispiel der Maschinendynamik. Der Zweimassenschwinger. Warum 2-Massen-Schwinger?

Zweimassenschwinger

Geht man den Weg von Fahrbahn zum Fahrzeug, so wird die Vertikalbewegung auf das Rad übertragen. Dieses stellt die erste Masse dar. Zwischen Rad und Fahrbahn ist ein Reifen, welche federnde und dämpfende Eigenschaften aufweist.

Das Rad ist wiederrum über eine Radaufhängung mit Feder und Stoßdämpfer mit dem Aufbau (genauer: dem 1/4-Aufbau) verbunden. Somit kann Rad und Aufbau schwingen. 2-Massen-Schwinger eben.

Die im Bild bezeichneten Variablen sind:

m_A = \text{Masse Aufbau (1/4 Fahrzeug)}
z_A = \text{Vertikalbewegung Aufbau}
k_A = \text{Daempfungskonstante Stossdaempfer}
c_A = \text{Federkonstante}
z_R = \text{Vertikalbewegung Rad}
m_R = \text{Masse Rad}
k_R = \text{Daempfungskonstante Reifen}
c_R = \text{Federkonstante Reifen}
z_E = \text{Vertikalbewegung Strasse (Schlagloch etc)}

Stellt man sich vor, dass man mit seinem Fahrzeug über eine Kopfsteinpflasterstraße fährt, so wird eine kontinuierliche Auf- und Ab-Bewegung in den Reifen eingebracht, welcher diese dann an den Aufbau weitergibt. Die Frage ist: Wie stark?

Dazu bildet man Kraft-Gleichgewichte in vertikaler Richtung. Kräfte entstehen, wenn Massen beschleunigt werden (Fa), wenn Stoßdämpfer bewegt werden (Fd) und wenn Federn auf eine Position außerhalb ihrer Ruhelage bewegt werden (Fc). Eine Position ist allgemein mit z bezeichnet. Deren Ableitung ist die Geschwindigkeit und deren Ableitung wiederrum ist die Beschleunigung. Das erkennt man auch an den Einheiten.

F_a=m \cdot \ddot{z} = m \cdot \cfrac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d} t^2} \text{ } \lbrack kg \cdot \frac{m}{s^2}=N \rbrack
F_d=k \cdot \dot{z} = k \cdot \cfrac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t} \text{ }\lbrack \frac{Ns}{m} \cdot \frac{m}{s}=N \rbrack
F_c=c \cdot z \text{ }\lbrack \frac{N}{m} \cdot m=N \rbrack

Übertragungsfunktion Rad-Aufbau

Die Kräftebilanz zwischen Rad und 1/4-Fahrzeug (Aufbau) ergibt:

0= - m_A \cdot \ddot{z_A} - k_A \cdot (\dot{z_A} - \dot{z_R}) - c_A \cdot (z_A - z_R)

Interessant ist jetzt die Frage, wie sich die Bewegung des Rades auf die Bewegung des Aufbaus auswirkt. Zusammenhänge zwischen Eingangsgrößen und Ausgangsgrößen physikalischer Systeme lassen sich im Allgemeinen durch nichtlineare Differentialgleichungen beschreiben. Die Anzahl der „Energiespeicher“ gibt dabei meistens den Grad der Differentialgleichung vor. Ein Ein-Massen-Feder/Dämpfer-Element wird zum Beispiel durch eine Differentialgleichung zweiter Ordnung beschrieben. Die Masse an sich kann kinetische/potentielle Energie „speichern“, die Feder „speichert“ Verformungsenergie. Der Dämpfer wandelt die Bewegungsenergie lediglich in Wärme um, ist also kein „Energiespeicher“.

Da es aufwendig ist Differentialgleichungen im Zeitbereich zu lösen, wird in der Regelungstechnik oft die LAPLACE Transformation angewendet. Mit der LAPLACE-Transformation wird die Differentiation im Zeitbereich zur Multiplikation im Bild-(LAPLACE-)Bereich und die Integration zur Division. Die Rechenoperationen werden also in algebraische Ausdrücke umgeformt und
somit vereinfacht. Die Allgemeingültigkeit der Transformation soll nicht weiter interessieren. Es wird die Ableitung durch eine LAPLACE-Variable s getauscht und die zweite Ableitung gegen das Quadrat der LAPLACE-Variablen s. Ergebnis:

m_A \cdot z_A \cdot s^2 = -k_A \cdot (z_A \cdot s - z_R \cdot s) - c_A \cdot (z_A - z_R)

Umgestellt nach der Bewegung des Aufbaus z_A ergibt sich:

z_A = z_R \cdot \cfrac{c_A + k_A \cdot s}{m_A \cdot s^2 + k_A \cdot s + c_A}

Die Übertragungsfunktion zwischen Rad und Aufbau über ein Feder-/Dämpfer-Element ist:

G_{RA}(s)=\cfrac{k_A \cdot s + c_A}{m_A \cdot s^2 + k_A \cdot s + c_A}

Soweit so gut. Doch was bringt uns das? Jeder Regelungstechniker wird entzückt auf die Übertragungsfunktion schauen und sofort Bescheid wissen. Natürlich, damit kann man ganz leicht Berechnungen zur Dämpfung, Schwingung, Stabilität, … durchführen.

Übertragungsfunktion Straße-Rad

Die dynamische Kräftebilanz am 1/4-Fahrzeug aufgestellt und LAPLACE-Transformiert, ergibt für die Bewegung zwischen Straße und Rad folgendes:

m_R \cdot z_R \cdot s^2 = -k_A \cdot (z_R \cdot s - z_A \cdot s) - c_A \cdot (z_R-z_A)-k_R\cdot(z_R\cdot s-z_E \cdot s)-c_R \cdot(z_R-z_E)

Man erkennt schon, dass die Übertragungsfunktion etwas komplizierter wird. Im Grunde ist es ein PT4-Glied, welches sich in folgender Form darstellt:

G_{SR}(s)=\cfrac{T1\cdot s^3 + T2 \cdot s^2 + T3 \cdot s + T4}{T5 \cdot s^4 + T6 \cdot s^3 + T7 \cdot s^2 + T8 \cdot s + T9}

Interessant sind jetzt natürlich die Terme T1…T9.

T1=m_A \cdot k_R
T2=k_A \cdot k_R + m_A \cdot c_R
T3=c_A \cdot k_R + k_A \cdot c_R
T4=c_A \cdot c_R
T5=m_A \cdot m_R
T6=m_A \cdot k_A + m_A \cdot k_R + k_A \cdot m_R
T7=m_A \cdot c_R + c_A\cdot m_r+m_A\cdot c_A+k_A\cdot k_R
T8=c_A \cdot k_R + k_A\cdot c_R
T9=c_A\cdot c_R

Übertragungsfunktion Straße-Aufbau

Wie Eingangs erwähnt, ist der Vorteil der LAPLACE-Transformation, dass Übertragungsfunktionen einfach addiert werden können um eine Übertragung von einem in ein anderes “System” zu berechnen. Das soll jetzt auch geschehen, wenn die Übertragungsfunktion zwischen Straße und Aufbau berechnet werden soll. Diese ist nämlich:

G_{SA}(s)=G_{SR}(s) \cdot G_{RA}(s)

Bei dieser Berechnung kann einiges gekürzt werden. Es bleibt ein PT4-Glied, welches sich folgendermaßen darstellt:

G_{SA}(s)=\cfrac{T10 \cdot s^2 + T3\cdot s + T9}{T5\cdot s^4+T6\cdot s^3+T7\cdot s^2+T8\cdot s+T9}

Der Term 10 ist:

T10=k_A\cdot k_R

Überfahren einer Kante

Mit Hilfe geeigneter Software kann man nun mal konkrete Sachverhalte an diesen Funktionen untersuchen. Wie verhält sich das 1/4-Fahrzeug, wenn man ein kleines Hindernis überfährt? Als Beispiel werden folgende Parameter definiert:

m_A = 229kg
k_A = 1137Ns/m
c_A = 20213N/m
m_R = 21kg
k_R = 130Ns/m
c_R = 90000N/m

Sprungantwort-Zweimassenschwinger

Das Hindernis hat eine Höhe von 1 (normiert) und ist an der Stelle t=0s angeordnet. Der Reifen überfährt diese “Kante” und wird schlagartig eingefedert. Der Aufbau, welcher über Feder-/Dämpferelemente an den Reifen gekoppelt ist, folgt mit einer schwingenden, gedämpften Bewegung. Nach ca. 2s hat sich das System beruhigt.

Überfahren einer Kante mit defektem Stoßdämpfer

Jetzt kann man diese Hindernisüberfahrt mit defektem Stoßdämpfer simulieren. Die Dämpfungskonstante der Radaufhängung wird auf weniger als die Hälfte reduziert.

k_A = 500Ns/m

Sprungantwort-Zweimassenschwinger2

Es ist erkennbar, dass die Aufbauschwingung wesentlich länger anhält, aber auch die Radschwingung (Straße-Rad) unruhiger geworden ist. Gerade da liegt das Problem. Nicht nur das subjektive Gefühl, dass es länger schwingt ist entscheidend, sondern dass das Rad nicht mehr ruhig auf der Straße liegt und die nötigen Kräfte übertragen kann.

Überfahren einer Kante mit defektem Stoßdämpfer und Tieferlegungsfedern

Unter Jugendlichen wird ja gern die preiswerte Tuningvariante der Tieferlegungsfedern verwendet. Diese zeichnen sich dadurch aus, dass sie einfach ein paar Millimeter kürzer sind und damit das Fahrzeug absenken. Um dabei trotzdem noch das Fahrzeuggewicht abfedern zu können, muss die Feder eine höhere Federkonstante haben. Beispielhaft soll die Federkonstante einfach verdoppelt werden, die defekten Stoßdämpfer bleiben montiert.

c_A = 40000N/m

Sprungantwort-Zweimassenschwinger3

Jetzt wird es nämlich richtig unangenehm für die Kontaktfläche Reifen/Fahrbahn. Der Klassiker unter den Tuningmaßnahmen ist der denkbar schlechteste Weg um ein verbessertes Fahrverhalten zu erzielen. Deshalb nur Komplettfahrwerke einbauen, in denen der Dämpfer auf die neue Feder angepasst ist!

Die normierte Amplitude sagt aus, dass beim Überfahren einer 10cm hohen Kante, der Aufbau um 1.8*10cm, also 18cm nach oben schwingen würde.

BODE-Diagramm

Um nicht nur das Überfahren eines einzigen Hindernisses zu untersuchen, sondern um Aussagen über das Verhalten bei Bodenwellen oder Kopfsteinpflasterstraßen treffen zu können, wird im allgemeinen ein BODE-Diagramm der Übertragungsfunktionen erstellt. Dieses hat den Vorteil, dass der Amplitudengang über einen großen Frequenzbereich dargestellt werden kann (Frequenz wird logarithmisch dargestellt).

Wichtige Kenngrößen sind auch die Aufbau- oder Radeigenfrequenz.

f_\text{eA}=\cfrac{\sqrt{\cfrac{c_A}{m_A}}}{2\pi} \approx 1{,}5Hz
f_\text{eR}=\cfrac{\sqrt{\cfrac{c_r+c_A}{m_R}}}{2\pi} \approx 11{,}5Hz

Wird eine Kopfsteinpflasterstraße mit einer Geschwindigkeit überfahren, welche das Rad 1,5 mal pro Sekunde (1,5Hz) über eine Querfuge fahren lässt, so befindet sich diese Anregung genau in der Resonanzfrequenz des Rades. Je nach Dämpfung, führt dies zum Abheben des Rades von der Straße.

Bode Diagramm der Übertragungsfunktion Straße zu Rad

Im BODE-Diagramm kann man die beiden Eigenfrequenzen an der positiven Amplitudenverstärkung erkennen.  Im Bereich der Aufbaueigenfrequenz und im Bereich der Radeigenfrequenz wird die Anregung der Straße nicht gedämpft, sondern verstärkt und auf Rad bzw. Aufbau übertragen. Diese Bereiche sind kritisch. Doch um welche Geschwindigkeiten handelt es sich denn, mit denen es kritisch ist über eine Kopfsteinpflasterstraße zu fahren? Normpflaster hat einen Fugenabstand (Steinbreite) von ca. d=14cm. Damit ergibt sich bei 30km/h Fahrgeschwindigkeit eine Anregungsfrequenz von

f_{err}=v/d \approx 60Hz

Offensichtlich befindet sich das Resonanzproblem in einem Bereich, der nicht unbedingt für kritische Fahrsituationen bekannt ist. Es bleibt zu beachten, dass dies nur für die oben definierten Parameter gilt. Andere Parameter führen zu völlig anderen Diagrammen und Amplitudengängen.

Fahrwerkhandbuch: Grundlagen, Fahrdynamik, Komponenten, Systeme, Mechatronik – herausgegeben von Bernd Heißing

Wer selbst einmal verschiedene Parameter durchrechen möchte, kann gern folgenden SciLab (Version 5.2) Code verwenden:

clear, clf

// Übertragungsfunktion eines Zweimassenschwingers
 // SciLab Version 5.2
 // ===============================================

// Parametrierung
 mA = 229; //kg - Aufbaumasse 1/4 Fahrzeug
 kA = 1137; //Ns/m - Dämpfungskonstante Stoßdämpfer
 cA = 20213; //N/m - Federkonstante Federn
 mR = 21; //kg - ungefederte Masse 1/4 Fahrzeug
 kR = 130; //Ns/m - Dämpfungskonstante Reifen
 cR = 90000; //N/m - Federkonstante Reifen

// Termberechnung
 T1 = mA*kR;
 T2 = kA*kR + mA*cR;
 T3 = cA*kR + kA*cR;
 T4 = cA*cR;
 T5 = mA*mR;
 T6 = mA*kA + mA*kR + kA*mR;
 T7 = mA*cR + cA*mR + mA*cA + kA*kR;
 T8 = cA*kR + kA*cR;
 T9 = cA*cR;
 T10 = kA*kR;

// Laplace Variable s definieren
 s=poly(0,"s");

// Übertragungsfunktionen definieren
 // Straße - Rad
 GSR = syslin('c', (T1*s^3 + T2*s^2 + T3*s + T4) / (T5*s^4 + T6*s^3 + T7*s^2 + T8*s + T9));

// Straße - Aufbau
 GSA = syslin('c', (T10*s^2 + T3*s + T9) / (T5*s^4 + T6*s^3 + T7*s^2 + T8*s + T9));

// Eigenfrequenzen berechnen
 fA = sqrt(cA/mA)/(2*3.1416)
 fR = sqrt((cR+cA)/mR)/(2*3.1416)

// Diagramme erzeugen

// Amplitudengang des BODE-Diagramms erzeugen
 gainplot(GSR, 0.1,100, 'Straße-Rad');

//Sprungantwort berechnen

//Zeitvektor für die Sprungantwort
 t=[0:0.01:5];

//Simulation: Sprungantwort ('step'), Impulsantwort ('impulse')
 zRad=csim('step',t,GSR);
 zAuf=csim('step',t,GSA);

//Plotten
 scf(1)
 plot(t,zRad,t, zAuf);
 axisHandle=gca();
 axisHandle.grid=[0,0];
 axisHandle.title.text='Sprungantwort';
 lineHandle=gce();
 lineHandle.children.thickness=2;
 legend('Bewegung Rad','Bewegung Aufbau');

// Done

Hier übrigens ein Beispiel für Anregung in kritischer Aufbaueigenfrequenz und ohne Stoßdämpfer:

Titelbild unter CC BY-NC-ND 2.0 Lizenz von flickr.com von Carlo Nitz

8 Comments

  1. Hallo,

    sehr netter Artikel. Darf ich eine weiterführende Frage stellen?
    Folgende Situation: Ich habe einen Zeitschrieb über einen Schlechtweg aufgenommen – an verschiedenen Stellen des Fahrzeugs – sagen wir 10.000 Km oder 200 Stunden. Jetzt möchte ich auf einem Hydropulsstand ein Bauteil (z.B. ein Halter) testen, für das mir ein entsprechender Zeitschrieb vorliegt.
    Jetzt ist es ja nicht übertrieben spannend, die vollständigen 10.000 Km oder 200 Stunden über den Hydropuls laufen zu lassen, was mache ich also? Ich transformiere mittels FFT das Zeitsignal in den Frequenzbereich, erfrage bei der Berechnung die Eigenfrequenzen meines neuen Bauteils und lese aus dem Frequenzbereich den Anteil der kritischen Frequenzen heraus: Ergebnis vielleicht 1%. Reicht es jetzt, das Bauteil 2 Stunden bei der kritischen Frequenz auf den Hydropuls zu stellen, um zu sehen, ob es die 10.000 Km überstanden hätte?
    Ist die Welt so einfach?
    Vielen Dank für’s mitdenken im Voraus – Gruß Eupin

    1. Hallo Eupin,
      die Sache ist natürlich nicht so einfach. Ich besitze keine ausreichende Kompetenz in diesem Fachgebiet um eine Antwort geben zu können. Grundsätzlich kann man zu diesem Thema aber auch Promovieren: http://t.co/429WUOV
      Viel Erfolg!

  2. Diese Abhandlung finde ich sehr hilfreich und instruktiv. Die Eingabe des Codes in Scilab 5.4.1 ergibt jedoch frühzeitig Fehlermeldungen wie hier:

    –> GSR = syslin(‘c’, (T1*s^3 + T2*s^2 + T3*s + T4) / (T5*s^4 + T6*s^3 + T7*s^2 + T8*s + T9));
    !–error 2
    Ungültiger Faktor.

    Was sagt uns diese Fehlermeldung und wie ist der Fehler zu beheben?

    Dank und Gruß, Jan Fremerey

      1. Donnerwetter – nach drei Jahren noch solch eine prompte Antwort, dafür erstmal Dank! Nein, ich habe ganz einfach Deinen obigen Text kopiert und bei Scilab eingegeben, also einschließlich dieser Zeile: s=poly(0,“s“);

        Gruß, Jan

    1. Hm. Keine Ahnung, ich vermute einfach ein Fehler durch falsche Formatierung hier im Blog. Ich habe den Quellcode nochmal anders formatiert, ich hoffe jetzt funktioniert es.
      Ich habe kein Scilab mehr installiert und kann es nicht ausprobieren.

      1. Ganz großen Dank für die Bereitstellung des neu formatierten Codes! Deine Mühe hat sich gelohnt, denn er funktionierte jetzt gleich auf Anhieb mit den erwarteten Ergenbnissen. Für mich ist das eine sehr schöne Ausgangsbasis zum Verständnis der Zusammenhänge und zum Probieren.

        Gruß, Jan

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